مسائل القرن الواحد والعشرين

مسألة P=NP







من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة







اذهب إلى: تصفح، بحث



إن العلاقة بين مسائل التعقيد P ومسائل NP الكاملة هي مسألة غير محلولة في المعلوماتية النظرية. وهي تعتبر من أهم المسائل في هذا الحقل وقد عرض معهد كلاي للرياضيات جائزة مقدارها مليون دولار أمريكي لأول برهان صحيح لهذه المسألة.

جوهر المسألة في أنه إذا كان من الممكن التأكد من الجواب الصحيح لمسألة ما بعد الحصول عليه في الزمن الخطي فهل من الممكن أيضاً حساب هذه الأجوبة ذاتها بسرعة؟

خذ على سبيل المثال مسألة مجموع المجموعات الجزئية،
وهو مثال على مسألة من السهل التحقق من صحة جوابها، لكن عملية حساب الجواب
نفسه يعتبر (هذا الأمر غير مبرهن بعد) من الأمور الصعبة. على سبيل المثال
هل يوجد مجموعة جزئية من المجموعة التالية {−2, −3, 15, 14, 7, −10} يكون
مجموع عناصرها مساوياً للصفر؟ الجواب بكل بساطة هو نعم، لأن المجموعة
الجزئية {−2, −3, −10, 15} مجموعها صفر وهو أمر من الممكن التحقق منه بكل
بساطة بجمع العناصر. لكن إن عملية إيجاد كل مجموعة جزئية من المجموعة
الأساسية يكون مجموع جميع عناصرها ينتهي إلى الصفر يأخذ وقتاً طويلاً.

تعتبر حدسية هودغ الأكثر صعوبة من حيث فهم المطلوب والأكثر تعقيدا لحلها.
تتطلب الحدسية لفهمها مجالا متقدما من المعارف الرياضية. حدسية هودغ
لصاحبها البريطاني (Sir Hodge)، أعلن عنها سنة 1950. وكما تمت الإشارة إليه
درجة غموضها مرتفعة: فهي متعلقة بحساب التفاضل المطبق على الأشكال العامة
وليس على الأعداد كانت حقيقة أو عقدية.

الهندسة بدون أشكال


في القرن السابع عشر، قدم ديكارت طريقة لدراسة الهندسة بواسطة الجبر.
مثلا يمكن التعبير عن الدائرة والمستقيم بمعادلات. وفي القرن التاسع عشر
عمل الباحثون على الذهاب بعيدا، فقاموا بتعريف الكائنات الهندسية، المسماة
بالمتغيرات الجبرية وذلك انطلاقا من الجبر. وبهذا ظهرت الهندسة بدون أشكال.

يمكن الذهاب أكثر من ذلك: بفضل الحساب التفاضلي، يمكن تعريف كائنات H،
التي تتميز بكونها لا تقبل التشكل أي التمثيل الهندسي، وأيضا لا يمكن
التعبير عنها جبريا، ورغم ذلك يتم الحصول عليها انطلاقا من كائنات أخرى تم
الحصول عليها بطريقة جبرية.

الحدسية


كل تمثيل تفاضلي توافقي لمتغيرات جبرية إسقاطية غير فردية فهي تأليفة جذرية لأصناف جبرية.

الحدسية تربط بين ثلاث مجالات وهي الطوبولوجيا والهندسة الجبرية والتحليل.

حدسية بوانكاريه







من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة







اذهب إلى: تصفح، بحث



مسائل جوائز الألفية

نظرية التعقيد

حدسية هودج

حدسية بوانكاريه

فرضية ريمان

يانغ ميل

معادلات نافييه-ستوكس

حدسية بريتش و سفينرتون-داير

حدسية بوانكاريه مشكلة في الرياضيات خاصة بالطوبولوجيا, تعتبر أحد أشهر المسائل الرياضية التي استمرت غامضة لمدة قاربت القرن دون برهنة على صحتها، حتى أعلنت دورية العلوم Science في عددها بتاريخ 22-12-2006 [1] أن هذه المسألة تم حلها نهائياً على يد الرياضي الروسي جريجوري بيريلمان المعروف أيضاً بلقب كريشا بيريلمان.

تم صياغة الحدسية لأول مرة سنة 1904 من طرف العالم الفرنسي هنري بوانكاريه كما يلي:

" كل تنوّع هندسي في أبعاد مغلقة بدون ثغرات يمكن تحويله إلى شكل
كروي " (أيّ ان كرة الركبي Rugby يمكن تحويلها إلى كرة قدم). وبمعنى أوضح
ان الشكل الهندسي الكروي ذا أبعاد ثلاثة هو الوحيد هندسياً الذي لا يتضمّن
ثغرات.

الحدسية تظهر في البعد 3, أما الأبعاد الأخرى فقد تم البرهنة على صحتها:

• البعد 4 بواسطة فريدمان سنة 1982
  
• البعد 5 بواسطة زيمان سنة 1961
  
• البعد 6 بواسطة ستالينغ سنة 1962
  
• البعد من 7 بواسطة سمال سنة 1961
  

مصطلحات مرتبطة


الكرةجسم مكون في الفضاء، له مركز وعدد لا نهائي من الأشعة.الدائرةجسم مكون في المستوى، له مركز وشعاع.
كل دائرة مرسومة على كرة، يمكنها:

1. أن تتقلص مع بقائها مرسومة على الكرة لتصبح نقطة.
   
2. كل كائن يمكنه أن يتقلص إلى نقطة مع بقائه متصلا بالكرة، يقال أنه مرتبط عاديا.
   
3. الدائرة المرسومة على عجلة، لا يمكنها التقلص إلى نقطة، مع بقائها متصلة بالعجلة.
   

مساحة مغلقة بدون ثقبكل ما يشبه القرص، ويمكنه التقلص إلى نقطة هو مساحة مغلقة بدون ثقب.
الوصف الرسمي


في سنة 2000 وبمناسبة السنة العالمية للرياضيات, وضعت مؤسسة كلاي
(claymath), قائمة بسبع حدسيات رياضية مهمة, ووعدت بمنح جائزة مالية قدرها
1000000$, لكل من يثبت صحة أو خطأ إحدى هذه الحدسيات, التي يطلق عليها
بجوائز الألفية.

و الوصف الرسمي لحدسية بوانكاري هو:

• حدسية بوانكاري
  

في سنة 2002 بدأ العالم الروسي كريشا بيرلمان Grisha Perelman محاولة
لحل المشكلة, حيث يعتبر حاليا العالم الأكثر قربا من البرهنة على صحة
الحدسية:

5 يونيو 2006م: نشرت مجلة «اسيان اوف ما ثمتكس» وهي مجلة متخصصة في
الرياضيات ومقرها الولايات المتحدة في عددها الأخير ان عالمين صينيين تمكنا
من وضع الخطوات النهائية في حل لغز حير العلماء في أنحاء العالم منذ أكثر
من قرن من الزمان. وذكرت المجلة أن العالمان تشو شي بينغ وتساو هواي دونغ
قدما اثباتا كاملا للغز بوانكاريه الذي وضعه الفرنسي هنري بونكاريه 1904.

وقال شينغ - تونغ ياو عالم الرياضيات في جامعة هارفارد واحد رؤساء تحرير
اسيان جورنال ان تساو هواي دونغ بجامعة ليغ في بنسلفانيا وتشو شي بينغ
بجامعة صون يات صن في مقاطعة قوانجو بجنوب الصين وضعا اللمسات الأخيرة
للاثبات الكامل لنظرية بوانكاريه الذي حير علماء الرياضيات في أنحاء
العالم. وتعد نظرية بوانكاريه في الرياضيات خاصة بالطبولوجيا وتعتبر أحد
أشهر المسائل الرياضية التي لم يتم برهنتها حتى الآن

فرضية ريمان







من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة







اذهب إلى: تصفح، بحث








الجزء الحقيقي (بالأحمر) والجزء التخيلي (بالأزرق) لدالة زيتا لريمان عبر المستقيم الحرج Re(s)
= 1/2 (الجزء الحقيقي ل s مساويا للنصف). الجذور الأولى غير البديهية يمكن
أن ترى عندما يكون الجزء التخيلي ل s مساويا ل ±14.135 أو ±21.022 أو
±25.011.


مسائل جوائز الألفية

نظرية التعقيد

حدسية هودج

حدسية بوانكاريه

فرضية ريمان

يانغ ميل

معادلات نافييه-ستوكس

حدسية بريتش و سفينرتون-داير

فرضية ريمان هي حدسية حدسها سنة 1859م عالم الرياضيات الألماني برنارد ريمان.
تعتبر هذه المسألة من أعظم المسائل وأقدمها و يقدم العلماء حياتهم ويدفعون
غالي الثمن ليروها يوماً قد حُلّت. إنها من أصعب الفرضيات التي استعصت على
البرهان.

دالة زيتا معرفة بالنسبة لجميع الأعداد المعقدة المختلفة عن 1. جميع
الأعداد الزوجية السالبة(-2, -4, -6, ...) هي جذور لهذه الدالة و تسمى
"جذورا بديهية". فرضية ريمان تتعلق بالجذور عير البديهية و تقول :

الجزء الحقيقي للجذور غير البديهية للدالة زيتا هو 1/2.
تمثل هذه الحدسية أحد المسائل الأكثر أهمية في الرياضيات الحالية, حيث جاءت كثامن مسائل هيلبرت المشهورة التي ظهرت سنة 1900م. كما أنها إحدى المسائل السبع التي اختارتها مؤسسة كلاي سنة 2000م, المعروفة ب مسائل الألفية والتي حددت جائزة مالية لحلها. فرضية ريمان هي المسألة الوحيدة المشتركة بين هاتين اللائحتين.

تتعلق فرضية ريمان بدالة أبدعها ريمان منذ حوالي قرن ونصف واسمها دالة زيتا لريمان.
تنص الفرضية على أن القسم الحقيقي للجذور العقدية لهذا التابع ثابت دوماً
ويساوي النصف. جرت محاولات كثيرة خلال قرن ونصف لإثبات الفرضية ولم تكلل
بالنجاح. مسألة تقرير وضع الفرضية (من الصحة أو الخطأ أو استحالة إثبات
بالرياضيات الحالية).

حل هذه الفرضية يساهم في فهم توزيع الأعداد الأولية.

دالة زيتا لريمان


دالة زيتا لريمان تعرف بالنسبة لعدد عقدي s، جزءه الحقيقي أكبر قطعا من 1 بالمتسلسلة غير المنتهية التالية:


أثبت ليونهارد أويلر أن هاته المتسلسلة تساوي جداء أويلر والمعرف بما يلي :


حيث يشمل هذا الجداء غير المنتهي جميع الأعداد الأولية، وأيضا، يؤول إلى عدد معين عندما يكون الجزء الحقيقي ل s أكبر قطعا من 1.

التاريخ


نتائج فرضية ريمان


توزيع الأعداد الأولية


نمو الدوال الحسابية


فرضية ليندولوف ونمو دالة زيتا


حدسية فجوة الأعداد الأولية الكبيرة


معايير مكافئة لفرضية ريمان


نتائج فرضية ريمان المعممة


محاولات لحلحلة فرضية ريمان


مبرهنة ليي-يونغ


نتيجة توران


الهندسة غير التبادلية


فضاءات هيلبرت للدوال الكاملة


تحديد مواقع الجذور


عدد الجذور


مبرهنة هادامار و دو لا فالي-بوسان


مناطق خالية من الجذور


الجذور على المستقيم الحرج


بداية القرن العشرين, برهن غودفري هارولد هاردي و جون إيدنسور ليتلوود على أن هناك عددا لا نهائي من الأصفار لدالة زيتا على المستقيم الحرج.

حدسيات هاردي-ليتلوود


حدسية سيلبورغ


حسابات عددية


السنةعدد الأصفارعالم الرياضيات

1859?	3	استعمل برنارد ريمان صيغة ريمان-سيغل (دالة لم تنشر ولكنا ذُكرت في سيغل 1932).
1903	15	J. P. غرام (1903) استعمل صيغة أويلر-ماكلورين فاكتشف قانون غرام. He showed that all 10 zeros with imaginary part at most 50 range lie on the critical line with real part 1/2 by computing the sum of the inverse 10th powers of the roots he found.
1914	79 (γn ≤ 200)	R. J. Backlund (1914) introduced a better method of checking all the zeros up to that point are on the line, by studying the argument S(T) of the zeta function.
1925	138 (γn ≤ 300)	J. I. Hutchinson (1925) found the first failure of Gram's law, at the Gram point g126.
1935	195	E. C. Titchmarsh (1935) used the recently rediscovered صيغة ريمان-سيغل , which is much faster than Euler–Maclaurin summation.It takes about O(T3/2+ε) steps to check zeros with imaginary part less than T, while the Euler–Maclaurin method takes about O(T2+ε) steps.
1936	1041	E. C. Titchmarsh (1936) and L. J. Comrie were the last to find zeros by hand.
1953	1104	A. M. Turing (1953) found a more efficient way to check that all zeros up to some point are accounted for by the zeros on the line, by checking that Z has the correct sign at several consecutive Gram points and using the fact that S(T) has average value 0. This requires almost no extra work because the sign of Z at Gram points is already known from finding the zeros, and is still the usual method used. This was the first use of a digital computer to calculate the zeros.
1956	15000	D. H. Lehmer (1956) discovered a few cases where the zeta function has zeros that are "only just" on the line: two zeros of the zeta function are so close together that it is unusually difficult to find a sign change between them. This is called "Lehmer's phenomenon", and first occurs at the zeros with imaginary parts 7005.063 and 7005.101, which differ by only .04 while the average gap between other zeros near this point is about 1.
1956	25000	D. H. Lehmer
1958	35337	N. A. Meller
1966	250000	R. S. Lehman
1968	3500000	Rosser, Yohe & Schoenfeld (1969) stated Rosser's rule (described below).
1977	40000000	R. P. Brent
1979	81000001	R. P. Brent
1982	200000001	R. P. Brent, J. van de Lune, H. J. J. te Riele, D. T. Winter
1983	300000001	J. van de Lune, H. J. J. te Riele
1986	1500000001	van de Lune, te Riele & Winter (1986) gave some statistical data about the zeros and give several graphs of Z at places where it has unusual behavior.
1987	A few of large (~1012) height	قالب:Harvs computed smaller numbers of zeros of much larger height, around 1012, to high precision to check Montgomery's pair correlation conjecture.
1992	A few of large (~1020) height	قالب:Harvs computed a 175 million zeroes of heights around 1020 and a few more of heights around 2×1020, and gave an extensive discussion of the results.
1998	10000 of large (~1021) height	قالب:Harvs computed some zeros of height about 1021
2001	10000000000	J. van de Lune (unpublished)
2004	900000000000	S. Wedeniwski (ZetaGrid distributed computing)
2004	10000000000000 and a few of large (up to ~1024) heights	X. Gourdon (2004) and Patrick Demichel used the Odlyzko–Schönhage algorithm. They also checked two billion zeros around heights 1013, 1014, ... , 1024.

نقاط غرام


حجج لصالح فرضية ريمان و حجج ضدها

معادلات نافييه-ستوكس







من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة



(تم التحويل من معادلات نافيير-ستوكس)





اذهب إلى: تصفح، بحث

ميكانيكا الأوساط المتصلة

[أظهر]ميكانيكا المواد الصلبة [أظهر]ميكانيكا الموائع [أظهر]علماء

عرض · نقاش · تعديل

مسائل جوائز الألفية

نظرية التعقيد

حدسية هودج

حدسية بوانكاريه

فرضية ريمان

يانغ ميل

معادلات نافييه-ستوكس

حدسية بريتش و سفينرتون-داير

في ميكانيك الموائع، معادلات نافييه-ستوكس هي معادلات غير خطية تصف حركة الموائع النيوتونية، حيث تحدد مثلا حركة الهواء، التيارات البحرية، تسرب المياه عبر الأنابيب. أخذت هذه المعادلات اسمها من فيزيائيين هما كلود نافييه وجورج جابرييل ستوكس من القرن 19.

تنتج هذه المعادلات من تطبيق قانون نيوتن الثاني على حركة الموائع، بافتراض أن إجهاد المائع هو مجموع انتشار اللزوجة (متناسبا مع تغير السرعة) بالإضافة إلى الضغط.

تعتبر معادلات نافييه-ستوكس من أهم المعادلات الفيزيائية حيث تصف عدد
كبير من الظواهر ذات التطبيقات في العديد من المجالات البحثية والتطبيقية،
وقد تستخدم في نمذجة الطقس، جريان السوائل في المجاري والأنابيب، جريان الغازات حول الأجسام الطائرة، حركة النجوم في المجرة.

تعتبر معادلات نافييه-ستوكس أيضاً هامة من الناحية الرياضية بسبب
تطبيقاتها الواسعة، حيث إلى اليوم لم ينجح في برهنة وجود حل دائم لمعادلات
نافييه-ستوكس في الفضاء الثلاثي الأبعاد، أو عدم وجود نهاية أو انقطاع في
الحل إن كان غير موجود. حيث يطلق على هذه المجموعة من المسائل اسم مسائل وجود وانسيابية نافييه-ستوكس وهي أحد مسائل القرن الواحد والعشرين التي طرحها معهد كلاي للرياضيات وعرض عليها جائزة مليون دولار أمريكي.

الصيغة العامة لمائع مكون من نوع كيميائي واحد


لمعادلات Navier-Stokes عدة صيغ. نقدم هنا البعض منها. لاحظ عزيزي
القارئ أن الصيغ مرتبطة أيضا بالمفاهيم المستعملة. وهكذا, توجد طرق عدة
متكافئة للتعبير عن الصيغ التفاضلية.

الصيغة التفاضلية لهذة الصيغ كما يلي :

• معادلة الاتصال (أو معادلة ناتج الكتلة)
  

• معادلة ناتج كمية الحركة
  

• معادلة ناتج الطاقة
  

في هذه المعادلات :

• تمثل الوقت (الوحدة SI: ) ;
  
• تمثل الكتلة الحجمية للمائع (وحدة SI: ) ;
  
• تشير لسرعة اوليرلان لجزيئ مائع (وحدة SI: ) ;
  
• تشير ل الضغط (وحدة SI: )